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[WC2020] 猜数游戏

给定长度为 $n$ 的序列 $a_i$,元素两两不相等,等概率随机选一个非空子集 $b_i$。有另一人知道 $a$ 来猜测 $b$,每次可以询问一个 $a_k$,若在 $b$ 中无此数字,则告知“无”,否则告知 $b$ 中所有满足 $a_k^m \bmod p$ 的数($m$ 为任意正整数)
现每次一定用最优方法猜测,问猜完 $b$ 所有数字的期望次数 $\times (2^n-1)$
$n \le 5000,p \le 10^{8}$,$p$ 为素数或 $q^k$ ($q$ 是素数,$k$ 为一正整数)



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